Wartości logiczne alternatywy znajdują się w tabelce
\( p\) | \( q\) | \( p\; { \vee}\: q\) |
---|---|---|
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
(czyli funkcji stałych, potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych oraz cyklometrycznych)
za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych (sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu) oraz operacji złożenia funkcji.
Graficzne rozwiązywanie nierówności
- ostra (\(\lt\), \(\gt\)), to brzeg jej zbioru rozwiązań będziemy rysować linią przerywaną,
- nieostra (\(\le\), \(\ge\)), to brzeg jej zbioru rozwiązań będziemy rysować linią ciągłą.
- , gdy ten punkt nie spełnia przynajmniej jednej z nierówności układu,
- , gdy ten punkt spełnia wszystkie nierówności układu.
Rozwiążemy graficznie nierówność \[2x+y\geq 1\]
Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Przekształcamy nierówność, zostawiając po lewej stronie tylko niewiadomą \(y\) \[ y\geq-2x+1 \] Otrzymana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[y=-2x+1\quad\vee\quad y\gt -2x+1\] Narysujmy więc pomocniczy wykres funkcji liniowej \(y=-2x+1\). Wiemy, że jej miejsce zerowe to \(x_0={1\over 2}\), a wyraz wolny \(b=1\). Prosta o równaniu \(y=-2x+1\) przechodzi więc przez punkty \(\left({1\over 2},0\right)\) i \(\left(0,1\right)\), jak na poniższym rysunku.Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(y\ {\czerwony{\boldsymbol\ge }}\ -2x+1\) jest półpłaszczyzna domknięta położona nad prostą o równaniu \(y=-2x+1\) oraz na tej prostej, zaznaczona na poniższym rysunku.
Rozwiążemy graficznie nierówność \[y\lt x^2\]
Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Po zastąpieniu występującego w niej znaku nierówności znakiem równości otrzymujemy równość \(y=x^2\), dlatego narysujmy pomocniczo parabolę będącą wykresem funkcji \(y=x^2\).Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(y\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ x^2\) jest część płaszczyzny położona pod parabolą, jak na poniższym rysunku.
- Rozwiązaniami równania postaci \[y\ \czerwony{\boldsymbol {=}}\ f(x)\]są wszystkie punkty leżące na wykresie funkcji \(y=f(x)\), jak na poniższym rysunku.
- Rozwiązaniami nierówności postaci \[y\ \czerwony{\boldsymbol {\lt}}\ f(x)\]są wszystkie punkty leżące pod wykresem funkcji \(y=f(x)\), jak na poniższym rysunku.
- Rozwiązaniami nierówności postaci \[y\ \czerwony{\boldsymbol {\gt}}\ f(x)\]są wszystkie punkty leżące nad wykresem funkcji \(y=f(x)\), jak na poniższym rysunku.
-
\(-3x+4y < 2\)Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Zgodnie z powyższą uwagą, aby wyznaczyć zbiór rozwiązań zadanej nierówności, trzeba ją najpierw uporządkować \[ \ 4y<3x+2 \ /:4 \] \[ y<{3\over 4}x+{1\over 2} \] Widzimy teraz, że do narysowania zbioru rozwiązań zadanej nierówności potrzebny jest wykres funkcji liniowej \(y={3\over 4}x+{1\over 2}\). Jej miejsce zerowe to \(x_0=-{2\over 3}\), a wyraz wolny \(b={1\over 2}\), dlatego wykres tej funkcji przecina osie układu współrzędnych w punktach: \(\left(-{2\over 3},0\right)\) i \(\left(0,{1\over 2}\right)\). Zatem zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(y\ \czerwony{\boldsymbol{\lt}}\ {3\over 4}x+{1\over 2}\) jest część płaszczyzny położona pod wykresem funkcji \(y={3\over 4}x+{1\over 2}\), jak na poniższym rysunku.
-
\(y\geq x^2+1\)Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Do narysowania zbioru rozwiązań zadanej nierówności potrzebny jest wykres funkcji kwadratowej \(y=x^2+1\), czyli parabola o wierzchołku w punkcie \((0,1)\) i ramionach skierowanych w górę. Wówczas zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(y\ \czerwony{\boldsymbol{\geq}}\ x^2+1\) jest część płaszczyzny położona nad wykresem funkcji \(y= x^2+1\) oraz na tym wykresie, jak na poniższym rysunku.
-
\(y\gt \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}\)Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Do narysowania zbioru rozwiązań zadanej nierówności potrzebny jest wykres funkcji \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}\), który otrzymujemy z wykres funkcji wykładniczej \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) w wyniku odpowiedniego przekształcenia (\(y=f(|x|)\)), tzn. przez pozostawienie bez zmian części wykresu funkcji \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) dla \(x\ge 0\) i symetryczne odbicie tego fragmentu względem osi \(Oy\). Wówczas zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(y\ \czerwony{\boldsymbol{\gt}}\ \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}\) jest część płaszczyzny położona nad wykresem funkcji \(y= \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}\), jak na poniższym rysunku.
-
\(y\leq \left|\log_3 x\right|\)Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest półpłaszczyzna otwarta \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x\gt 0\ \wedge\ y\in\mathbb{R}\}\) położona na prawo od osi \(Oy\). Zatem zbiór jej rozwiązań narysujemy tylko na tej półpłaszczyźnie. Do narysowania zbioru rozwiązań zadanej nierówności potrzebny jest wykres funkcji \(y=\left|\log_3 x\right|\), który otrzymujemy z wykresu funkcji logarytmicznej \(y=\log_3 x\) w wyniku odpowiedniego przekształcenia (\(y=|f(x)|\)), tzn. przez pozostawienie bez zmian części wykresu funkcji \(y=\log_3 x\) dla \(y\ge 0\) i symetryczne odbicie fragmentu wykresu tej funkcji dla \(y\lt 0\) względem osi \(Ox\). Wówczas zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(y\ \czerwony{\boldsymbol{\leq}}\ \left|\log_3 x\right|\) są wszystkie punkty należące do zbioru \(D\) (na prawo od osi \(Oy\)) i leżace pod wykresem funkcji \(y= \left|\log_3 x\right|\) oraz na tym wykresie, jak na poniższym rysunku.
- równanie okręgu o środku w punkcie \(S(0,0)\) i promieniu \(r\gt 0\) \[x^2+y^2=r^2\]
- równanie elipsy o środku w punkcie \(S(0,0)\) i długości osi wielkiej \(2a\) i osi małej \(2b\), gdy \(a\gt b\), lub odwrotnie – osi wielkiej \(2b\) i osi małej \(2a\), gdy \(a\lt b\) \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1\]
Rozwiążemy graficznie nierówność \[ x^2+y^2 \ge 1\]
Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[x^2+y^2= 1\quad\vee\quad x^2+y^2 \gt 1,\] to narysujemy pomocniczo okrąg \[ x^2+y^2= 1 \] o środku w punkcie \(S(0,0)\) i promieniu \(r=1\).Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(x^2+y^2 \ {\czerwony{\boldsymbol\ge }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona na zewnątrz okręgu oraz na tym okręgu, jak na poniższym rysunku.
Rozwiążemy graficznie nierówność \[\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\lt 1\]
Wiemy, że po zamianie znaku nierówności na znak równości otrzymujemy równanie elipsy \[\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} = 1\] o środku w punkcie \(S(0,0)\). Ponieważ \(a=2\) i \(b=3\), czyli \(a\lt b\), to oś wielka tej elipsy ma długość \(2b=6\), a oś mała ma długość \(2a=4\). Narysujemy pomocniczo taką elipsę.Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona wewnątrz elipsy, jak na poniższym rysunku.
- Punkty leżące na okręgu o środku \(S(0,0)\) i promieniu \(r\) (\(r>0\)) spełniają równanie \[ x^2+y^2\ {\czerwony{\boldsymbol =}}\ r^2 \]
- Punkty leżące wewnątrz okręgu \(x^2+y^2=r^2\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[ x^2+y^2\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ r^2 \]
- Punkty leżące na zewnątrz okręgu \(x^2+y^2=r^2\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[ x^2+y^2\ {\czerwony{\boldsymbol\gt }}\ r^2 \]
-
\((x+2)^2+(y+1)^2\leq 4\)Widzimy, że zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \((x+2)^2+(y+1)^2\ {\czerwony{\boldsymbol\leq }}\ 4\) jest część płaszczyzny położona wewnątrz okręgu o równaniu \[ (x+2)^2+(y+1)^2= 4 \] oraz na tym okręgu, jak na poniższym rysunku.
-
\(x^2-4x+y^2-2y+2>0\)Aby wyznaczyć zbiór rozwiązań zadanej nierówności, musimy ją najpierw uporządkować. Stosujemy więc wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i przekształcamy zadaną nierówność tak, aby widoczny był środek i promień okręgu \[ (x-2)^2-4+(y-1)^2-1+2>0 \] \[ (x-2)^2+(y-1)^2>3 \] Widzimy teraz, że zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \((x-2)^2+(y-1)^2\ {\czerwony{\boldsymbol\gt }}\ 3\) jest część płaszczyzny położona na zewnątrz okręgu o środku w punkcie \(S(2,1)\) i promieniu \(r=\sqrt{3}\), jak na poniższym rysunku.
-
\(4(x-1)^2+2(y+2)^2\geq 8\)Aby wyznaczyć zbiór rozwiązań zadanej nierówności, musimy ją najpierw uporządkować tak, aby widoczny był środek i osie elipsy \[ 4(x-1)^2+2(y+2)^2\geq 8\ \Big/:8\] \[ \frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(y+2)^2}{4}\geq 1 \] Widzimy teraz, że po zamianie znaku nierówności na znak równości otrzymujemy równanie elipsy \[\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(y+2)^2}{4} = 1\] o środku w punkcie \(S(1,-2)\). Ponieważ \(a=\sqrt 2\) i \(b=2\), czyli \(a\lt b\), to oś wielka tej elipsy ma długość \(2b=4\), a oś mała ma długość \(2a=2\sqrt 2\). Zatem zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(y+2)^2}{4}\ {\czerwony{\boldsymbol\ge }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona na zewnątrz elipsy o środku w punkcie \(S(1,-2)\) oraz na tej elipsie, jak na poniżeszym rysunku.
- równanie hiperboli o ogniskach w punktach: \(F_1(-c,0)\), \(F_2(c,0)\), wierzchołkach w punktach: \(A_1(-a,0)\), \(A_2(a,0)\), gdzie \(0\lt a\lt c\) i \(b^2=c^2-a^2\) \[{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2} = 1\]
- równanie paraboli o ognisku w punkcie \(F(\frac{1}{4a},0)\), kierownicy o równaniu \(x=-\frac{1}{4a}\) i wierzchołku w punkcie \(W(0,0)\) \[x=ay^2\]
Rozwiążemy graficznie nierówność \[{x^2\over 4}-{y^2\over 2} \le 1\]
Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[{x^2\over 4}-{y^2\over 2} = 1\quad\vee\quad {x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1,\] to narysujemy pomocniczo hiperbolę \[ {x^2\over 4}-{y^2\over 2} = 1,\] która ma wierzchołki w punktach: \(A_1(-2,0)\), \(A_2(2,0)\) oraz asymptoty o równaniach: \(y={\sqrt{2}\over 2}x\) i \(y=-{\sqrt{2}\over 2}x\).
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \({x^2\over 4}-{y^2\over 2} \ {\czerwony{\boldsymbol\le }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona pomiędzy gałęziami hiperboli oraz na tej hiperboli, jak na poniższym rysunku.
- Punkty leżące na hiperboli o ogniskach w punktach: \(F_1(-c,0)\), \(F_2(c,0)\), wierzchołkach w punktach: \(A_1(-a,0)\), \(A_2(a,0)\), gdzie \(0\lt a\lt c\) i \(b^2=c^2-a^2\), spełniają równanie \[ {x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}\ {\czerwony{\boldsymbol =}}\ 1\]
- Punkty leżące pomiędzy gałęziami hiperboli \({x^2\over a^2}-{y^2\over b^2} = 1\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}\ {\czerwony{\boldsymbol \lt}}\ 1 \]
- Punkty leżące na zewnątrz hiperboli \({x^2\over a^2}-{y^2\over b^2} = 1\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}\ {\czerwony{\boldsymbol \gt}}\ 1 \]
Rozwiążemy graficznie nierówność \[x\le y^2\]
Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[x=y^2\quad\vee\quad x\lt y^2,\] to narysujemy pomocniczo parabolę \(x=y^2\) o ognisku w punkcie \(F({1\over 4},0)\), kierownicy o równaniu \(x=-{1\over 4}\) i wierzchołku w punkcie \(W(0,0)\), której ramiona skierowane są w prawo.Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(x\ {\czerwony{\boldsymbol\le }}\ y^2 \) jest część płaszczyzny położona na lewo od paraboli oraz na tej paraboli, jak na poniższym rysunku.
- Punkty leżące na paraboli o ognisku w punkcie \(F(\frac{1}{4a},0)\), kierownicy o równaniu \(x=-\frac{1}{4a}\) i wierzchołku w punkcie \(W(0,0)\) spełniają równanie \[x\ {\czerwony{\boldsymbol =}}\ ay^2\]
- Punkty leżące na lewo od paraboli \(x=ay^2\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[x\ {\czerwony{\boldsymbol \lt}}\ ay^2 \]
- Punkty leżące na prawo od paraboli \(x=ay^2\) (zobacz poniższy rysunek) spełniają nierówność \[x\ {\czerwony{\boldsymbol \gt}}\ ay^2 \]
-
\(\displaystyle y^2 -\frac{x^2}{9} \gt 1\)Widzimy, że po zastąpieniu znaku nierówności znakiem równości otrzymujemy równanie \[y^2 -\frac{x^2}{9} = 1,\] które opisuje hiperbolę sprzężoną z hiperbolą \(\frac{x^2}{9}-y^2=1\). Wierzchołkami hiperboli sprzężonej są punkty \(B_1(0,1)\) i \(B_2(0,-1)\), ogniskami punkty \(F_1(0,−\sqrt{10})\) i \(F_2(0,\sqrt{10})\), a jej asymptoty mają równania \(y=\frac{1}{3}x\) i \(y=-\frac{1}{3}x\). Zatem zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(\displaystyle y^2 -\frac{x^2}{9}\ {\czerwony{\boldsymbol\gt }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona na zewnątrz hiperboli sprzężonej o równaniu \(y^2 -\frac{x^2}{9}= 1\), jak na poniższym rysunku.
-
\(\displaystyle {3\left(x-1\right)^2\over 2}-{2\left(y+2\right)^2\over 3} \le 6\)Aby wyznaczyć zbiór rozwiązań zadanej nierówności, musimy ją najpierw uporządkować tak, aby widoczne były wierzchołki i asymptoty hiperboli. \[{3\left(x-1\right)^2\over 2}-{2\left(y+2\right)^2\over 3} \le 6\ \Big/:6\] \[{\left(x-1\right)^2\over 4}-{\left(y+2\right)^2\over 9} \le 1\] Widzimy teraz, że po zamianie znaku nierówności na znak równości otrzymujemy równanie hiperboli \[{\left(x-1\right)^2\over 4}-{\left(y+2\right)^2\over 9} = 1\] o wierzchołkach \(A_1(-1,-2)\), \(A_2(3,-2)\) oraz asymptototach \(y={3\over 2}x-{7\over 2}\) i \(y=-{3\over 2}x-{1\over 2}\). Zatem zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \({\left(x-1\right)^2\over 4}-{\left(y+2\right)^2\over 9} \ {\czerwony{\boldsymbol\le }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona pomiędzy gałęziami hiperboli oraz na tej hiperboli, jak na poniższym rysunku.
-
\(y^2\gt 4x\)Po podzieleniu obu stron zadanej nierówności przez \(4\) widzimy, że zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \[y^2\gt 4x\quad\Longleftrightarrow\quad x\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ \frac{1}{4}y^2\] jest część płaszczyzny położona na lewo od paraboli o równaniu \[x= \frac{1}{4}y^2,\] jak na poniższym rysunku.
-
\(y^2 \lt -2 x + 4\)Aby wyznaczyć zbiór rozwiązań zadanej nierówności, musimy ją najpierw uporządkować. \[y^2 \lt -2 x + 4\ \Big/-4\] \[y^2-4 \lt -2 x\ \Big/:(-2)\] \[-\frac{1}{2}y^2+2 \gt x\] Widzimy teraz, że zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(x\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ -\frac{1}{2}y^2+2\) jest część płaszczyzny położona na lewo od paraboli o równaniu \[x=-\frac{1}{2}y^2+2,\] jak na poniższym rysunku.
Rozwiążemy graficznie układ nierówności \[\cases{(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1\cr y>x \cr}\]
Wiemy, że nierówność \((x-1)^2+(y-1)^2\leq 1\) spełniają punkty leżące na okręgu o równaniu \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) i w jego wnętrzu, czyli zbiorem rozwiązań tej nierówności jest koło (zobacz poniższy rysunek).-
\(1<(x+1)^2+(y+1)^2\leq 16\)Podwójną nierówność zamieniamy na układ nierówności \[ \left\{ \eqalign{&(x+1)^2+(y+1)^2>1 \cr &(x+1)^2+(y+1)^2\leq 16\cr}\right. \] Wiemy, że pierwszą nierówność \[(x+1)^2+(y+1)^2>1\]spełniają punkty leżące na zewnątrz okręgu o równaniu \((x+1)^2+(y+1)^2=1\).
Drugą nierówność \[(x+1)^2+(y+1)^2\leq 16\]spełniają punkty leżące na okręgu o równaniu \((x+1)^2+(y+1)^2= 16\) i wewnątrz tego okręgu.
Zatem graficznym rozwiązaniem całego układu nierówności jest zbiór przedstawiony na poniższym rysunku. -
\(\cases{y^2\geq x+2\cr y>x\cr}\)Wiemy, że pierwszą nierówność \[y^2\geq x+2\]spełniają punkty leżące na paraboli o równaniu \(y^2=x+2\) oraz na lewo od tej paraboli.
Drugą nierówność \[y\gt x\]spełniają punkty leżące powyżej prostej \(y=x\).
Zatem graficznym rozwiązaniem całego układu nierówności jest zbiór przedstawiony na poniższym rysunku. -
\(\cases{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}\leq 1\cr \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}\geq 1\cr}\)Wiemy, że pierwszą nierówność \[\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}\leq 1\]spełniają punkty leżące na elipsie o równaniu \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}= 1\) oraz wewnątrz tej elipsy.
Drugą nierówność \[\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}\geq 1\]spełniają punkty leżące na hiperboli \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}= 1\) oraz poza jej gałęziami.
Zatem graficznym rozwiązaniem całego układu nierówności jest zbiór przedstawiony na poniższym rysunku.