Wybrane równania zespolone

Warunek równości liczb zespolonych zapisanych w postaci algebraicznej \[z_{1}=z_{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{Re}\, z_1 =\mathrm{Re}\, z_2 \ \wedge \ \mathrm{Im}\, z_1 = \mathrm{Im}\, z_2\]
Warunek równości liczb zespolonych zapisanych w postaci wykłądniczej Jeżeli\[{z_{1}=\vert z_{1}\vert e^{\mathrm{i}\varphi_1}\neq 0\quad \text{oraz} \quad z_{2}=\vert z_{2}\vert e^{\mathrm{i}\varphi_2}\neq 0,}\] to wówczas \[ z_{1}=z_{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \vert z_{1}\vert =\vert z_{2}\vert \ \wedge \ \varphi _{1}=\varphi _{2}+2k \pi, \quad {\rm gdzie}\quad k\in Z\]
Postać algebraiczna liczby zespolonej \(\boldsymbol{z=(a,b)}\) \[z=a+b\:\!\mathrm{i}, \quad \text{gdzie}\quad a,b\in\mathbb{R}\]
Moduł liczby zespolonej \(\boldsymbol{z=a+b\:\!\mathrm{i}}\) \[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]
Liczba sprzężona z liczbą zespoloną \(\boldsymbol{z=a+b\:\!\mathrm{i}}\) \[\bar{z}=a-b\:\!\mathrm{i}\]
Część rzeczywista liczby zespolonej \(\boldsymbol{z=a+b\:\!\mathrm{i}}\) \[\mathrm{Re}\, z=a\]
Część urojona liczby zespolonej \(\boldsymbol{z=a+b\:\!\mathrm{i}}\) \[\mathrm{Im}\, z=b\]
Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej \(\boldsymbol{ z=a+b\:\!\mathrm{i}}\)
Długość wektora, którego końcem jest punkt z, a początkiem jest początek układu współrzędnych, oznaczona została jako moduł liczby z.

Wykorzystamy teraz zdobytą wiedzę do rozwiązania wybranych równań zespolonych. Dowolnymi zespolonymi równaniami wielomianowymi zajmiemy się w rozdziale Równania wielomianowe, ponieważ potrzebne nam będą dodatkowe wiadomości z tego zakresu.

Rozpoczniemy od równań zespolonych, w których występuje moduł \(|z|\), sprzężenie \(\bar z\), część rzeczywista \(\mathrm{Re}\, z\) lub część urojona \(\mathrm{Im}\, z\) liczby zespolonej \(z\). Aby rozwiązać takie równanie, musimy wyznaczyć jego dziedzinę, a następnie wstawić w miejsce niewiadomej \(z\in\mathbb{C}\) jej postać algebraiczną \(z=x+y\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\). Po uporządkowaniu takiego równania możemy wykorzystać warunek równości dwóch liczb zespolonych zapisanych w postaci algebraicznej. Wówczas otrzymamy układ równań z niewiadomymi \(x,y\in\mathbb{R}\). Po rozwiązaniu tego układu równań zapisujemy w postaci algebraicznej rozwiązania zadanego równania zespolonego i sprawdzamy, czy należą do wyznaczonej na początku dziedziny tego równania, jak w poniższych przykładach i zadaniu.

Przykład

W zbiorze liczb zespolonych rozwiążemy równanie \[\frac{2+\text{i}}{z}=\frac{3+2\:\!\text{i}}{\bar{z}}\]

Zauważmy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\backslash\{0\}\). Aby pozbyć się mianowników, mnożymy obie strony równania przez \(z\cdot\bar{z}\) i otrzymujemy \[(2+\text{i})\bar{z}=(3+2\:\!\text{i})z\] Ponieważ w równaniu występuje sprzężenie \(\bar{z}\) liczby zespolonej \(z\), to skorzystamy z postaci algebraicznej liczby \(z\). Podstawiamy więc \(z=x+y\:\!\text{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), i porządkujemy otrzymane równanie \[(2+\text{i})(x-y\:\!\text{i})=(3+2\:\!\text{i})(x+y\:\!\text{i})\]\[2x-2y\:\!\text{i}+x\:\!\text{i}+y=3x+3y\:\!\text{i}+2x\:\!\text{i}-2y\]\[(2x+y)+(x-2y)\:\!\text{i}=(3x-2y)+(2x+3y)\:\!\text{i}\] Wiemy, że dwie liczby zespolone zapisane w postaci algebraicznej są sobie równe tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste są równe oraz części urojone są równe. Dlatego po porównaniu części rzeczywistych i części urojonych liczb zespolonych stojących po obu stronach równania otrzymujemy układ równań \[\cases{2x+y=3x-2y\cr x-2y=2x+3y\cr}\]\[\cases{-x+3y=0\cr -x-5y=0\cr}\]Rozwiązaniem tego układu równań jest para \[\cases{x=0\cr y=0\cr}\] Jednak liczba \(z=0\notin D\), zatem zadane równanie zespolone jest sprzeczne.
Przykład

W zbiorze liczb zespolonych rozwiążemy równanie \[z^2=\mathrm{Re}\,(\mathrm{i}z)\]

Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\). Wstawiamy więc postać algebraiczną liczby \(z=x+y\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), i porządkujemy otrzymane równanie \[(x+y\:\!\mathrm{i})^2=\mathrm{Re}\left[\mathrm{i}(x+y\:\!\mathrm{i})\right]\] \[x^2+2xy\:\!\mathrm{i}-y^2=\mathrm{Re}\,(x\:\!\mathrm{i}-y)\] \[x^2+2xy\:\!\mathrm{i}-y^2=-y\] Po porównaniu części rzeczywistych i części urojonych liczb zespolonych stojących po obu stronach równania otrzymujemy układ równań \[\cases{x^2-y^2=-y\cr 2xy=0\cr}\]Z drugiego równania wynika, że \[x=0\quad \vee\quad y=0\]Po wstawieniu do pierwszego równania \(x=0\) dostajemy \[-y^2=-y\quad \Longleftrightarrow \quad y(1-y)=0\quad \Longleftrightarrow \quad y=0\ \vee\ y=1\]Po wstawieniu do pierwszego równania \(y=0\) otrzymujemy \[x^2=0\quad \Longleftrightarrow \quad x=0\]Zatem rozwiązanie układu równań to \[\cases{x=0\cr y=0\cr}\quad\vee\quad\cases{x=0\cr y=1\cr}\]Oznacza to, że rozwiązaniami równania \(z^2=\mathrm{Re}\,(\mathrm{i}z)\) są liczby zespolone \[z=0\quad \vee\quad z=\mathrm{i}\] należące do wyznaczonej wcześniej dziedziny tego równania.
Zadanie
W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równania:
  1. \(2z+\bar{z}=6-5\:\!\mathrm{i}\)
    Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\). Aby rozwiązać równanie zespolone, w którym występuje \(\bar{z}\), skorzystamy z postaci algebraicznej liczby \(z\). Podstawiamy więc \(z=x+y\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), i porządkujemy otrzymane równanie \[2(x+y\:\!\mathrm{i})+\overline{(x+y\:\!\mathrm{i})}=6-5\:\!\mathrm{i}\] \[2x+2y\:\!\mathrm{i}+x-y\:\!\mathrm{i}=6-5\:\!\mathrm{i}\]\[3x+y\:\!\mathrm{i}=6-5\:\!\mathrm{i}\] Wiemy, że dwie liczby zespolone są sobie równe, jeżeli ich części rzeczywiste są równe oraz części urojone są równe. Otrzymujemy więc układ równań \[\left\{\eqalign{&3x=6\cr &y=-5\cr}\right.\]Rozwiązaniem tego układu równań jest para\[\left\{\eqalign{&x=2\cr &y=-5\cr}\right.\]Zatem rozwiązaniem równania \(2z+\bar{z}=6-5\:\!\mathrm{i}\) jest liczba \(z=2-5\:\!\mathrm{i}\in D\).
  2. \(-z^2=\bar{z}\)
    Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\). Podstawiamy więc postać algebraiczną liczby \(z=x+y\:\! \text{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), i porządkujemy otrzymane równanie \[-\left(x+y\:\! \mathrm{i}\right)^2=\overline{(x+y\cdot \mathrm{i})}\]\[{-x^2-2x y\:\! \mathrm{i}-y^2\mathrm{i}^2=x-y\:\! \mathrm{i}}\]\[{-x^2-2xy\:\! \mathrm{i}+y^2=x-y\:\! \mathrm{i}}\]Po porównaniu części rzeczywistych i części urojonych otrzymujemy układ równań \[\left\{\eqalign{& y^2-x^2=x\cr & -2x y=-y\cr}\right.\]Przekształcamy drugie równanie i otrzymujemy \[y-2x y=0\]\[y\cdot \left(1-2x\right)=0\]\[y=0\quad \vee\quad x=\frac{1}{2}\]Po wstawieniu \(y=0\) do pierwszego równania otrzymujemy \[-x^2=x\]\[-x^2-x=0\]\[x=-1\quad \vee\quad x=0\]Po wstawieniu \(x=\frac{1}{2}\) do pierwszego równania otrzymujemy \[y^2-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\]\[y^2=\frac{3}{4}\]\[y=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad \vee\quad y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]Rozwiązanie układu równań jest więc następujące \[\left\{\eqalign{&x=-1\cr &y=0\cr}\right.\quad\vee\quad \left\{\eqalign{&x=0\cr &y=0\cr}\right.\quad\vee\quad \left\{\eqalign{&x=\frac{1}{2}\cr &y=\frac{\sqrt{3}}{2}\cr}\right.\quad\vee\quad \left\{\eqalign{&x=\frac{1}{2}\cr &y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cr}\right.\] Zatem rozwiązaniami równania \(-z^2=\bar{z}\) są liczby \[z=-1\quad\vee\quad z=0\quad\vee\quad z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\:\!\mathrm{i}\quad\vee\quad z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \:\!\mathrm{i}\]należące do wyznaczonej wcześniej dziedziny tego równania.
  3. \((z+2)^2=(\bar{z}+2)^2\)
    Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\). Po przeniesieniu wyrażenia \((\bar{z}+2)^2\) na lewą stronę równania otrzymujemy różnicę kwadratów, możemy więc zastosować wzór skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). \[(z+2)^2-(\bar{z}+2)^2=0\]\[(z+2-\bar{z}-2)\cdot (z+2+\bar{z}+2)=0\]\[(z-\bar{z})\cdot (z+\bar{z}+4)=0\]\[z-\bar{z}=0\quad\vee \quad z+\bar{z}+4=0\] Podstawiamy \(z=x+y\:\! \text{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), i otrzymujemy \[x+y\:\! \text{i}-(x-y\:\! \text{i})=0\quad\vee\quad x+y\:\! \text{i}+x-y\:\! \text{i}+4=0\]\[2y\:\! \text{i}=0\quad\vee\quad 2x+4=0\]\[y=0\quad\vee\quad x=-2\]\[\cases{x\in\mathbb{R}\cr y=0\cr}\quad\vee\quad \cases{x=-2\cr y\in\mathbb{R}\cr} \]Zatem rozwiązaniami równania \((z+2)^2=(\bar{z}+2)^2\) są liczby zespolone postaci \[z=x\quad \vee\quad z=-2+y\:\! \text{i},\quad \text{gdzie}\quad x,y\in\mathbb{R},\]należące do dziedziny tego równania.
  4. \(\vert z\vert+\overline{z}=1+2\:\! \mathrm{i}\)
    Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\), więc podstawiamy postać algebraiczną liczby zespolonej \(z=x+y\:\! \mathrm{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), i porządkujemy otrzymane równanie \[\vert x+y\:\! \mathrm{i} \vert+\overline{(x+y\:\! \mathrm{i})}=1+2\:\! \mathrm{i}\]\[\sqrt{x^2+y^2}+x-y\:\! \mathrm{i}=1+2\:\! \mathrm{i}\]Wiemy, że dwie liczby zespolone są sobie równe, jeżeli ich części rzeczywiste są równe oraz części urojone są równe. Otrzymujemy więc układ równań \[\left\{\eqalign{&{\sqrt{x^2+y^2}+x=1}\cr &{-y=2}\cr}\right.\]Po wstawieniu \(y=-2\) do pierwszego równania otrzymujemy \[{\sqrt{x^2+4}+x=1}\]\[{\sqrt{x^2+4}=1-x}\]Otrzymane równanie nie będzie sprzeczne, gdy \(x\leq 1\). Możemy wtedy podnieść obie strony nierówności do kwadratu \[{x^2+4={\left(1-x\right)}^2}\]\[x^2+4=x^2-2\cdot x+1\]\[2\cdot x=-3\]\[x=-\frac{3}{2}\]Ponieważ \(x=-\frac{3}{2}\) spełnia warunek \(x\leq 1\), to rozwiązaniem układu równań jest para\[\left\{\eqalign{&x=-\frac{3}{2}\cr &y=-2\cr}\right.\]Zatem rozwiązaniem równania \(\vert z\vert+\overline{z}=1+2\:\! \mathrm{i}\) jest liczba \(z=-\frac{3}{2}-2\:\!\mathrm{i}\in D\).
  5. \(\vert z\vert+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Im}\,(z-3\:\!\mathrm{i})=1-3\:\! \mathrm{i}\)
    Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\). Podstawiamy więc \(z=x+y\cdot \text{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), i porządkujemy otrzymane równanie \[\vert x+y\:\! \mathrm{i} \vert+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Im}\,(x+y\:\! \mathrm{i}-3\:\!\mathrm{i})=1-3\:\! \mathrm{i}\]\[\sqrt{x^2+y^2}+\mathrm{i}(y-3)=1-3\:\! \mathrm{i}\]Porównujemy części rzeczywiste oraz części urojone liczb stojących po obu stronach równania i otrzymujemy układ równań \[\left\{\eqalign{&{\sqrt{x^2+y^2}=1}\cr &{y-3=-3}\cr}\right.\]Po wstawieniu \(y=0\) do pierwszego równania otrzymujemy \[\sqrt{x^2}=1\quad\Longleftrightarrow\quad x=1\ \vee\ x=-1\]Rozwiązaniem układu równań są więc dwie pary liczb\[\left\{\eqalign{&x=1\cr &y=0\cr}\right.\quad\vee\quad \left\{\eqalign{&x=-1\cr &y=0\cr}\right.\]Zatem rozwiązaniami równania \(\vert z\vert+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Im}\,(z-3\:\!\mathrm{i})=1-3\:\! \mathrm{i}\) są liczby \[z=-1\quad\vee\quad z=1\]należące do dziedziny tego równania.
W kolejnym przykładzie i zadaniu, aby rozwiązać równanie, wygodniej jest skorzystać z postaci wykładniczej liczby zespolonej \(\displaystyle z=\vert z\vert e^{\mathrm{i}\varphi}\), gdzie \(\varphi = \mathrm{Arg}\, z\) jest dowolnym argumentem liczby \(z\). Dlatego posłużymy się w nich warunkiem równości dwóch liczb zespolonych zapisanych w postaci wykładniczej.
Przykład

Korzystając z postaci wykładniczej liczby zespolonej \(z\), rozwiążemy równanie \[\left(\overline{z}\right)^3=4z\]

Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\). Podstawiamy \[z=|z|e^{\mathrm{i}\varphi}\quad \text{oraz}\quad \overline{z}=|z|e^{-\mathrm{i}\varphi}\] i otrzymujemy postać równoważną z zadanym równaniem \[\left(\left| z\right|e^{- \mathrm{i}\varphi }\right)^3=4\left| z\right| e^{\mathrm{i} \varphi} \] Dodatkowo skorzystamy z faktu, że \[z^{\czerwony{\boldsymbol{n}}}=|z|^{\czerwony{\boldsymbol{n}}}e^{\mathrm{i}\czerwony{\boldsymbol{n}}\varphi}\] Wówczas nasze równanie przyjmuje postać \[|z|^3e^ {- 3\mathrm{i}\varphi}=4|z| e^{\mathrm{i} \varphi}\] Wiemy, że dwie liczby zespolone w postaci wykładniczej są sobie równe, jeżeli ich moduły są równe oraz argumenty różnią się o wielokrotność \(2\pi\). Otrzymujemy więc układ równań \[\left\{\eqalign{&|z|^3=4 |z|\cr & -3 \varphi=\varphi+2k\pi\cr}\right.,\quad \hbox{gdzie}\quad k\in\mathbb{Z}\] Z pierwszego równania wyliczymy moduł \(|z|\) liczby \(z\), a z drugiego – argument \(\varphi\) liczby \(z\). \[\left\{\eqalign{&|z|^3-4 |z|=0\cr & -4 \varphi=2k\pi\cr}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\{\eqalign{&|z|\left(|z|^2-4\right)=0\cr &\varphi=-\frac{k\pi}{2}\cr}\right.\] Przy założeniu, że \(\varphi\) jest argumentem głównym liczby zespolonej \(z\), tzn. \(\varphi\in\left<0,2\pi\right)\), otrzymujemy \[\left\{\eqalign{&|z|=0\ \vee\ |z|=2\cr &\varphi\in\left \{0 , \frac{\pi}{2} , \pi , \frac{3}{2}\pi \right \}\cr}\right.\] Zatem rozwiązanie równania \(\left(\overline{z}\right)^3=4z\) należące do dziedziny tego równania i zapisane w postaci wykładniczej to \[z=0e^{0\:\!\mathrm{i}}\ \vee\ z=2e^{0\:\!\mathrm{i}}\ \vee\ z=2e^{\frac{\pi}{2}\:\!\mathrm{i}}\ \vee\ z=2e^{\pi\:\!\mathrm{i}}\ \vee\ z=2e^{\frac{3}{2}\pi\:\!\mathrm{i}},\] a zapisane w postaci algebraicznej to \[z=0\ \vee\ z=2\ \vee\ z=2\:\!\mathrm{i}\ \vee\ z=-2\ \vee\ z=-2\:\!\mathrm{i}\]
Zadanie
W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie:
  1. \(|z|z^3=\mathrm{i}\)
    Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\). Ponieważ w postaci wykładniczej \[z=|z|e^{\mathrm{i}\varphi},\] to zadane równanie jest równoważne z równaniem \[\left| z\right|\cdot \left(\left| z\right|e^{\mathrm{i}\varphi}\right)^{3}=\mathrm{i}\] Dodatkowo skorzystamy z faktu, że \[z^{\czerwony{\boldsymbol{n}}}=|z|^{\czerwony{\boldsymbol{n}}}e^{\mathrm{i}\czerwony{\boldsymbol{n}}\varphi}\]Wówczas nasze równanie przyjmuje postać \[|z|\cdot |z|^3e^{3\:\!\mathrm{i}\varphi}=\mathrm{i}\] \[|z|^4e^{3\:\!\mathrm{i}\varphi}=\mathrm{i}\] Wiemy, że dwie liczby zespolone w postaci wykładniczej są sobie równe, jeżeli ich moduły są równe oraz argumenty różnią się o wielokrotność \(2\pi\). Otrzymujemy więc układ równań \[\left\{\eqalign{&|z|^4=1\cr & 3 \varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi\cr}\right.,\quad \hbox{gdzie}\quad k\in\mathbb{Z}\] Z pierwszego równania wyliczymy moduł \(|z|\) liczby \(z\), a z drugiego – argument \(\varphi\) liczby \(z\). \[\left\{\eqalign{&|z|=1\cr &\varphi=\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi\cr}\right.\] Przy założeniu, że \(\varphi\in\left<0,2\pi\right)\), otrzymujemy \[\left\{\eqalign{&|z|=1\cr &\varphi\in\left \{\frac{\pi}{6} , \frac{5}{6}\pi , \frac{3}{2}\pi \right \}\cr}\right.\] Zatem rozwiązanie równania \(|z| z^3=\mathrm{i}\) należące do dziedziny i zapisane w postaci wykładniczej to \[z=1e^{\frac{\pi}{6}\:\!\mathrm{i}}\ \vee\ z=1e^{\frac{5}{6}\pi\:\!\mathrm{i}}\ \vee\ z=1e^{\frac{3}{2}\pi\:\!\mathrm{i}},\] a zapisane w postaci algebraicznej to \[z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\ \vee\ z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\ \vee\ z=-\mathrm{i}\]
  2. \(z^3\cdot \left(\bar{z}\right)^2=-2\)
    Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\). Ponieważ w postaci wykładniczej \[z=|z|e^{\mathrm{i}\varphi}\quad \text{oraz}\quad \overline{z}=|z|e^{-\mathrm{i}\varphi},\] to otrzymujemy równanie \[\left(|z|e^{\mathrm{i}\varphi}\right)^3\cdot \left(|z|e^{-\mathrm{i}\varphi}\right)^2=-2\] Korzystamy z faktu, że \[z^{\czerwony{\boldsymbol{n}}}=|z|^{\czerwony{\boldsymbol{n}}}e^{\mathrm{i}\czerwony{\boldsymbol{n}}\varphi}\]Wówczas nasze równanie przyjmuje postać \[|z|^3 e^{3\mathrm{i} \varphi}\cdot |z|^2e^{-2 \mathrm{i} \varphi}=-2\]\[|z|^5 e^{\mathrm{i}\varphi}=2e^{\mathrm{i}\pi}\] Wiemy, że dwie liczby zespolone w postaci wykładniczej są sobie równe, jeżeli ich moduły są równe oraz argumenty różnią się o wielokrotność \(2\pi\). Otrzymujemy więc układ równań \[\left\{\eqalign{&|z|^5=2\cr & \varphi=\pi+2k\pi\cr}\right.,\quad \hbox{gdzie}\quad k\in\mathbb{Z}\]Przy założeniu, że \(\varphi\in\left<0,2\pi\right)\), otrzymujemy \[\left\{\eqalign{&|z|=\sqrt[5]{2}\cr &\varphi=\pi\cr}\right.\] Zatem rozwiązaniem równania \(z^3\cdot \left(\bar{z}\right)^2=-2\) jest liczba \(z=\sqrt[5]{2}e^{\mathrm{i}\pi}=-\sqrt[5]{2}\in D\).
  3. \(\displaystyle\left(\bar{z}\right)^3=\frac{4}{z^3}\)
    Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\setminus\{0\}\). Mnożymy obie strony równania przez \(z^3\) i otrzymujemy\[\left(\bar{z}\right)^3\cdot z^3=4\] Korzystamy z postaci wykładniczej liczby zespolonej \(z\) i porządkujemy równanie \[\left(|z|e^{-\mathrm{i}\varphi}\right)^3\cdot \left(|z|e^{\mathrm{i}\varphi}\right)^3=4\]\[|z|^3e^{-3\:\!\mathrm{i}\varphi}\cdot |z|^3e^{3\:\!\mathrm{i}\varphi}=4\] \[|z|^6=4\]\[|z|=\sqrt[6]{4}\] Z interpretacji geometrycznej modułu liczb zespolonych wynika, że otrzymaliśmy zespolone równanie okręgu o środku \(z_0=0\) i promieniu \(r=\sqrt[6]{2}\). Zatem rozwiązaniami zadanego równania należącymi do zbioru \(D\) są wszystkie liczby zespolone leżące na tym okręgu.
Do rozwiązania wielomianowego równania zespolonego postaci \[z^n=w\] wystarczy wykorzystać jeden ze wzorów na pierwiastki \(n\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(w\). Pozostałe zespolone równania wielomianowe omówimy dokładnie w rozdziale Równania wielomianowe.
Przykład

W zbiorze liczb zespolonych rozwiążemy równanie \[z^3=\frac{-8-16\:\! \mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}\]

Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\). Rozpoczniemy od uporządkowania prawej strony równania. Wykonamy dzielenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej, mnożając licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika. \[\frac{-8-16\:\! \mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}=\frac{(-8-16\:\! \mathrm{i})\czerwony{\boldsymbol{(2+\mathrm{i})}}}{({2-\mathrm{i}})\czerwony{\boldsymbol{(2+\mathrm{i})}}}=\frac{-40\:\! \mathrm{i}}{5}=-8\:\! \mathrm{i}\] Zatem mamy do rozwiązania równanie postaci \[z^3=-8\:\! \mathrm{i}\] Oznacza to, że rozwiązaniami naszego równania są wszystkie elementy zbioru \(\sqrt[3]{-8\:\! \mathrm{i}}\). Aby skorzystać ze wzoru na pierwiastki \(n\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(w=\vert w\vert (\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi)\) \[z_k=\sqrt[n]{\vert w\vert}\left(\cos{\varphi+2k\pi\over n}+\mathbb{i}\sin{\varphi+2k\pi\over n}\right),\] gdzie \(k=0,1,2,\ldots,n-1\), wyznaczymy moduł i argument główny liczby \(w=-8\:\! \mathrm{i}\). Ponieważ liczba \(w=-8\:\! \mathrm{i}\) leży na ujemnej półosi urojonej, to jej moduł i argument główny wynoszą \[\vert w\vert =8\quad\text{oraz}\quad \varphi=\frac{3}{2}\pi\] Otrzymujemy zatem \[\eqalign{z_0&=\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{\frac{3}{2}\pi+0}{ 3}+{\mathrm{i}}\sin\frac{\frac{3}{2}\pi+0}{ 3}\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{2}\right)=2\left(0+1\cdot \mathrm{i}\right)=2\mathrm{i}\cr z_1&=\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{\frac{3}{2}\pi+2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\frac{3}{2}\pi+2\pi}{3}\right)=2\left(\cos\frac{7}{6}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{7}{6}\pi\right)=\cr &=2\bigg[\cos\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)\bigg] \overset{\mathrm{III\ ćw.}}{=} 2\left(-\cos\frac{\pi}{6}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6}\right)=\cr &=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\:\!\mathrm{i}\right)=-\sqrt{3}-\mathrm{i}\cr z_2&=\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{\frac{3}{2}\pi+4\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\frac{3}{2}\pi+4\pi}{3}\right)=2\left(\cos\frac{11}{6}\pi+\mathrm{i}\sin\frac{11}{6}\pi\right)=\cr &=2\bigg[\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)+\mathrm{i}\sin\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)\bigg] \overset{\mathrm{IV\ ćw.}}{=} 2\left(\cos\frac{\pi}{6}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6}\right)=\cr &=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\:\! \mathrm{i}\right)=\sqrt{3}-\mathrm{i}\cr}\] Zatem rozwiązaniami zadanego równania są liczby \[z=2\:\! \mathrm{i} \quad\vee\quad z=-\sqrt{3}-\mathrm{i}\quad\vee\quad z=\sqrt{3}-\mathrm{i}\]należące do dziedziny tego równania.
Zadanie
W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie:
  1. \(z^3=\left({-2+4\:\!\mathrm{i}}\right)^3\)
    Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\), a jego rozwiązaniami są wszystkie elementy zbioru \(\sqrt[3]{\left({-2+4\:\!\mathrm{i}}\right)^3}\). Wiemy, że jednym z pierwiastków stopnia \(3\) z liczby \(\left({-2+4\:\!\mathrm{i}}\right)^3\) jest liczba \[z_0=-2+4\:\!\mathrm{i}\]Zatem pozostałe pierwiastki obliczymy, korzystając ze wzoru \[z_{k}=z_0\left( \cos \frac{2k\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{3}\right)\] Dla \(k=1,2\) otrzymujemy \[\eqalign{z_1&=z_0\left(\cos\frac{2}{3}\pi+{\mathrm{i}}\sin\frac{2}{3}\pi\right)= z_0\bigg[\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\bigg] \overset{\mathrm{II\ ćw.}}{=}\cr &\overset{\mathrm{II\ ćw.}}{=} z_0\left(-\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)=(-2+4\:\!\mathrm{i})\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\cr &=1-2\sqrt{3}-\left(2+\sqrt 3\right)\mathrm{i}\cr z_2&=z_0\left(\cos\frac{4}{3}\pi+{\mathrm{i}}\sin\frac{4}{3}\pi\right)= z_0\bigg[\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)\bigg]\overset{\mathrm{III\ ćw.}}{=}\cr & \overset{\mathrm{III\ ćw.}}{=} z_0\left(-\cos\frac{\pi}{3}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)=(-2+4\:\!\mathrm{i})\left(-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)= \cr &=1+2\sqrt{3}+\left(-2+\sqrt 3\right)\mathrm{i}\cr}\] Zatem rozwiązaniami równania \(z^3=\left({-2+4\:\!\mathrm{i}}\right)^3\) są należące do dziedziny liczby \[z=-2+4\:\!\mathrm{i} \quad\vee\quad z=1-2\sqrt{3}-\left(2+\sqrt 3\right)\mathrm{i}\quad\vee\quad z=1+2\sqrt{3}+\left(-2+\sqrt 3\right)\mathrm{i}\]
  2. \((z-2\:\!\mathrm{i})^6=\left({1+\mathrm{i}}\right)^6\)
    Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\) i oznacza ono, że \[z-2\:\!\mathrm{i}\in\sqrt[6]{\left({1+\mathrm{i}}\right)^6}\] Wyznaczymy więc najpierw wszystkie elementy zbioru \(\sqrt[6]{\left({1+\mathrm{i}}\right)^6}\). Wiemy, że jednym z pierwiastków stopnia \(6\) z liczby \(\left({1+\mathrm{i}}\right)^6\) jest liczba \[w_0=1+\mathrm{i}\]Kolejne dwa pierwiastki obliczymy, korzystając ze wzoru \[w_{k}=w_0\left( \cos \frac{2k\pi }{6}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{6}\right)\] Dla \(k=1,2\) otrzymujemy \[\eqalign{w_1&=w_0\left(\cos\frac{\pi}{3}+{\mathrm{i}}\sin\frac{\pi}{3}\right)= (1+\mathrm{i})\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\cr &=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\cr w_2&=w_0\left(\cos\frac{2}{3}\pi+{\mathrm{i}}\sin\frac{2}{3}\pi\right)= w_0\bigg[\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\bigg] \overset{\mathrm{II\ ćw.}}{=}\cr &\overset{\mathrm{II\ ćw.}}{=} w_0\left(-\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)=(1+\mathrm{i})\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\cr &=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\cr}\] Pozostałe trzy pierwiastki otrzymujemy jako liczby przeciwne do \(w_0\), \(w_1\) i \(w_2\) \[\eqalign{w_3&=-w_0=-1-\mathrm{i}\cr w_4&=-w_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}-\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\cr w_5&=-w_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\cr}\] Mamy teraz do rozwiązania sześć równań postaci \(z-2\:\!\mathrm{i}=w_k\).
    1. Dla \(w_0=1+\mathrm{i}\) rozwiązujemy równanie \[z-2\:\!\mathrm{i}=1+\mathrm{i}\] \[z=1+3\:\!\mathrm{i}\]
    2. Dla \(w_1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\) rozwiązujemy równanie \[z-2\:\!\mathrm{i}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\] \[z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{5}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\]
    3. Dla \(w_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\) rozwiązujemy równanie \[z-2\:\!\mathrm{i}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\] \[z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\]
    4. Dla \(w_3=-1-\mathrm{i}\) rozwiązujemy równanie \[z-2\:\!\mathrm{i}=-1-\mathrm{i}\] \[z=-1+\mathrm{i}\]
    5. Dla \(w_4=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}-\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\) rozwiązujemy równanie \[z-2\:\!\mathrm{i}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}-\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\] \[z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\]
    6. Dla \(w_5=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\) rozwiązujemy równanie \[z-2\:\!\mathrm{i}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\] \[z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{5}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\]
    Zatem rozwiązaniami równania \((z-2\:\!\mathrm{i})^6=\left({1+\mathrm{i}}\right)^6\) są należące do dziedziny liczby \[z=1+3\:\!\mathrm{i} \quad\vee\quad z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{5}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i} \quad\vee\quad z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i} \quad\vee\\ \vee \quad z=-1-\mathrm{i} \quad\vee\quad z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i} \quad\vee\quad z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}+\left(\frac{5}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\mathrm{i}\]
  3. \(\left(2z+6\:\! \mathrm{i}\right)^4=\left(-2z-2\:\! \mathrm{i}\right)^4\)
    Widzimy, że dziedziną tego równania jest zbiór \(D=\mathbb{C}\). Podzielimy zadane równanie stronami przez \(\left(-2z-2\:\! \mathrm{i}\right)^4\), zakładając, że \(z\neq -\mathrm{i}\). Założenie to nie wpłynie na liczbę rozwiązań zadanego równania, ponieważ liczba \(-\mathrm{i}\) nie jest jego rozwiązaniem. Otrzymujemy wówczas równanie \[\frac{\left(2z+6\:\! \mathrm{i}\right)^4}{\left(-2z+6\:\! \mathrm{i}\right)^4}=1\] Korzystamy z własności działań na potęgach \[\left(\frac{2z+6\:\! \mathrm{i}}{-2z-2\:\! \mathrm{i}}\right)^4=1\] Oznacza to, że liczba \(\displaystyle\frac{2z+6\:\! \mathrm{i}}{-2z-2\:\! \mathrm{i}}\) jest jednym z elementów zbioru pierwiastków \(4\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(1\) \[\frac{2z+6\:\! \mathrm{i}}{-2z-2\:\! \mathrm{i}}\in\sqrt[4]{1}\] Ponieważ pierwiastkami stopnia \(4\) z liczby \(1\) są: \[w_0=1,\quad w_1=-1,\quad w_2=\mathrm{i},\quad w_3=-\mathrm{i},\] to mamy do rozwiązania cztery równania:
    1. Dla \(w_0=1\) rozwiązujemy równanie \[\frac{2z+6\:\! \mathrm{i}}{-2z-2\:\! \mathrm{i}}=1\]\[2z+6\:\! \mathrm{i}=-2z-2\:\! \mathrm{i}\]\[4z=-8\:\!\mathrm{i}\]\[z=-2\:\!\mathrm{i}\]
    2. Dla \(w_1=-1\) rozwiązujemy równanie \[\frac{2z+6\:\! \mathrm{i}}{-2z-2\:\! \mathrm{i}}=-1\]\[2z+6\:\! \mathrm{i}=2z+2\:\! \mathrm{i}\]\[0=-4\:\!\mathrm{i}\] Równanie jest sprzeczne.
    3. Dla \(w_2=\mathrm{i}\) rozwiązujemy równanie \[\frac{2z+6\:\! \mathrm{i}}{-2z-2\:\! \mathrm{i}}=\mathrm{i}\]\[2z+6\:\! \mathrm{i}=(-2z-2\:\! \mathrm{i})\mathrm{i}\]\[2z+6\:\! \mathrm{i}=-2z\:\!\mathrm{i}+2\]\[(2+2\:\!\mathrm{i})z=2-6\:\! \mathrm{i}\]\[z=\frac{2-6\:\! \mathrm{i}}{2+2\:\!\mathrm{i}}\] Po wykonaniu dzielenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej otrzymujemy \[z=-1-2\:\!\mathrm{i}\]
    4. Dla \(w_3=-\mathrm{i}\) rozwiązujemy równanie \[\frac{2z+6\:\! \mathrm{i}}{-2z-2\:\! \mathrm{i}}=-\mathrm{i}\]\[2z+6\:\! \mathrm{i}=-(-2z-2\:\! \mathrm{i})\mathrm{i}\]\[2z+6\:\! \mathrm{i}=2z\:\!\mathrm{i}-2\]\[(2-2\:\!\mathrm{i})z=-2-6\:\! \mathrm{i}\]\[z=\frac{-2-6\:\! \mathrm{i}}{2-2\:\!\mathrm{i}}\]Po wykonaniu dzielenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej otrzymujemy \[z=1-2\:\!\mathrm{i}\]

    Zatem rozwiązaniami zadanego równania są liczby \[ z=-2\:\!\mathrm{i}\quad \vee\quad z=-1-2\:\!\mathrm{i} \quad \vee\quad z=1-2\:\!\mathrm{i}\]należące do zbioru \(D\).