Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[\vert z-2-\mathrm{i} \vert\geq 2 \quad\wedge\quad \mathrm{Re}\, z =3\]

1. Nierówność nieostra \[\vert z-(2+\mathrm{i} )\vert\ \czerwony{\boldsymbol\ge}\ 2\] opisuje okrąg o środku w \(z_0=2+\mathrm{i}\) i promieniu \(r=2\) oraz jego zewnętrze.

2. Wykorzystując postać algebraiczną liczby \(z=x+y\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), możemy zapisać równanie \(\mathrm{Re}\, z =3\) w postaci \[\mathrm{Re}\,(x+y\:\!\mathrm{i})=3\quad \Longleftrightarrow\quad x=3\] Zatem równanie to spełniają punkty leżące na prostej \(x=3\).

Zatem zbiór \(\niebieski{\boldsymbol A}\) można zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej w następujący sposób.

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[| z-1+\mathrm{i} |^2= 3 |z-1+\mathrm{i}|\]

Po uporządkowanii równania i wyciągnięciu przed nawias \(|z-1+\mathrm{i}|\) otrzymujemy \[|z-1+\mathrm{i}|\big(|z-1+\mathrm{i}|-3\big)=0\]\[|z-1+\mathrm{i}|=0\quad\vee\quad |z-1+\mathrm{i}|=3\] Równanie \(|z-1+\mathrm{i}|=0\) opisuje \(z_0=1-\mathrm{i}\), a równanie \(|z-1+\mathrm{i}|=3\) spełniają liczby zespolone leżące na okręgu o środku \(z_0\) i promieniu \(r=3\).

Zatem zbiór \(\niebieski{\boldsymbol A}\) można zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej w następujący sposób.

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[|z|^3-6|z|^2+11|z|-6>0\]

Zauważmy, że po podstawieniu \(t=|z|\), gdzie \(t\geq 0\), otrzymujemy nierówność wielomianową \[t^3-6t^2+11t-6>0\]Aby ją rozwiązać, rozłożymy wielomian \(W(t)=t^3-6t^2+11t-6\) na czynniki. Ponieważ współczynniki tego wielomianu są liczbami całkowitymi, to zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach całkowitych takich pierwiastków wielomianu \(W(t)\) należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby \(-6\) to: \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 3\), \(\pm 6\). Ponieważ \[ W(1)=1-6+11-6=0, \] więc \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(t)\) i zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian \(W(t)\) jest podzielny przez dwumian \(t-1\). Podzielimy wielomiany, wykorzystując schemat Hornera.

Zatem \(W(t)=(t-1)\left(t^2-5t+6\right)\), a zadaną nierówność możemy zapisać w postaci \[ (t-1)\left(t^2-5t+6\right)>0 \] Po rozłożeniu trójmianu kwadratowego \(t^2-5t+6\) na czynniki otrzymujemy \[ (t-1)(t-2)(t-3)>0 \] Rysujemy wykres wielomianu \(W(t)\). Współczynnik przy najwyższej potędze tego wielomianu jest dodatni, zatem rysowanie zaczynamy do prawej strony nad osią \(Ot\). Liczby \(1\), \(2\) i \(3\) są pierwiastkami o nieparzystej krotności, więc wykres w tych punktach przecina oś \(Ot\), jak na poniższym rysunku.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \((t-1)(t-2)(t-3)>0\) \[t\in (1,2)\cup(3,\infty),\] które możemy zapisać w postaci \[1\leq t\leq 2 \quad\vee\quad t\geq 3\] Ponieważ \(t=|z|\), gdzie \(t\geq 0\), to otrzymujemy \[1\leq |z|\leq 2 \quad\vee\quad |z|\geq 3\] Podwójną nierówność \(1\leq |z|\leq 2\) spełniają liczby zespolone należące do pierścienia o środku w \(z_0=0\) i promieniach \(r_1=1\) i \(r_2=2\), a nierówność nieostra \(|z|\ \czerwony{\boldsymbol\ge}\ 3\) opisuje okrąg o środku \(z_0\) i promieniu \(r=3\) oraz zewnętrze tego okręgu.

Zatem zbiór \(\niebieski{\boldsymbol A}\) można zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej w następujący sposób.

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[{\vert z-2\:\!\mathrm{i}\vert \over \vert z+\mathrm{i}\vert}=1 \quad\wedge\quad \mathrm{Im}\, (z\:\!\mathrm{i}) >1\]

1. Przy założeniu, że \(z\neq -\mathrm{i}\), równanie \[{\vert z-2\:\!\mathrm{i}\vert \over \vert z+\mathrm{i}\vert}=1\] możemy zapisać w postaci \[\vert z-2\:\!\mathrm{i}\vert = \vert z+\mathrm{i}\vert\] Zgodnie z powyższą uwagą opisuje ono symetralną odcinka o końcach \(z_1=2\:\!\mathrm{i}\) i \(z_2=-\mathrm{i}\), czyli prostą o równaniu \(y=\frac{1}{2}\).

2. Wykorzystując postać algebraiczną liczby \(z=x+y\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), możemy zapisać nierówność \(\mathrm{Im}\, (z\:\!\mathrm{i}) >1\) w postaci \[\mathrm{Im}\,\big[(x+y\:\!\mathrm{i})\:\!\mathrm{i}\big]>1\quad \Longleftrightarrow\quad \mathrm{Im}\,(x\:\!\mathrm{i}-y)>1 \quad \Longleftrightarrow\quad x>1\] Zatem nierówność \(\mathrm{Im}\, (z\:\!\mathrm{i}) >1\) spełniają liczby zespolone leżące na półpłaszczyźnie otwartej położonej na prawo od prostej \(x=1\).

Zatem zbiór \(\niebieski{\boldsymbol A}\) można zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej w następujący sposób.

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[\frac{|z-1|}{|z+3|}<1 \quad\wedge\quad \frac{4}{|z|}\geq \left|\bar{z}\right|\]

1. Zakładamy, że \(z\neq 3\), i mnożymy obie strony nierówności \(\frac{|z-1|}{|z+3|}<1\) przez \(|z+3|\) \[|z-1|<|z+3|\] Ponieważ \(z_1=1\) spełnia otrzymaną nierówność, to jej rozwiązaniem są wszystkie liczby zespolone \(z\) położone na półpłaszczyźnie otwartej leżącej po prawej stronie symetralnej odcinka o końcach \(z_1=1\) i \(z_2=-3\).

2. Ponieważ \(|z|=\left|\bar{z}\right|\), to nierówność \(\frac{4}{|z|}\geq \left|\bar{z}\right|\) możemy zapisać w postaci \[\frac{4}{|z|}\geq |z|\] Zakładamy, że \(|z|\neq 0\), i mnożymy obie strony nierówności przez \(|z|\) \[4\geq |z|^2\] Ponieważ \(|z|>0\), to \[0<|z|\leq 2\] Ta podwójna nierówność opisuje okrąg o środku \(z_0=0\) i promieniu \(r=2\) wraz z jego wnętrzem, ale bez \(z_0\).

Zatem zbiór \(\niebieski{\boldsymbol A}\) można zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej w następujący sposób.

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[\frac{|z|}{|z-1|}>2\]

Zakładamy, że \(z\neq 1\), i mnożymy obie strony nierówności przez \(|z-1|\) \[|z|=2|z-1|\] Podstawiamy \(z=x+y\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), i otrzymujemy \[|x+y\:\!\mathrm{i}|=2|x+y\:\!\mathrm{i}-1|\]\[\sqrt{x^2+y^2}=2\sqrt{(x-1)^2+y^2}\]Podnosimy obie strony nierówności do kwadratu \[x^2+y^2=4\left[(x-1)^2+y^2\right]\] \[x^2+y^2=4\left[x^2-2x+1+y^2\right]\]\[x^2+y^2=4x^2-8x+4+4y^2\]\[3x^2-8x+4+3y^2=0\ \Big/:3\]\[x^2-\frac{8}{3}x+\frac{4}{3}+y^2= 0\]\[\left(x-\frac{4}{3}\right)^2-\frac{16}{9}+\frac{4}{3} +y^2= 0\]\[\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+y^2= \frac{4}{9}\] Otrzymane równanie opisuje okrąg o środku w punkcie \(\left(\frac{4}{3},0\right)\) i promieniu \(r=\frac{2}{3}\).

Zatem zbiór \(\niebieski{\boldsymbol A}\) można zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej w następujący sposób.

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[|z|+\mathrm{Re}\, (z\mathrm{i})< 1\]

Podstawiamy \(z=x+y\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), i otrzymujemy \[|x+y\:\!\mathrm{i}|+\mathrm{Re}\, \big[(x+y\:\!\mathrm{i})\mathrm{i})\big] < 1\]\[|x+y\:\!\mathrm{i}|+\mathrm{Re}\, (x\:\!\mathrm{i}-y) < 1\]\[\sqrt{x^2+y^2}-y < 1\]\[\sqrt{x^2+y^2} < y+1\]Aby powyższa nierówność nie była sprzeczna, musi być spełniony warunek \(y\geq -1\). Zakładamy więc, że \(y\geq -1\), i podnosimy obie strony nierówności do kwadratu \[x^2+y^2 <y^2+2y+1\] \[-2y< -x^2+1\ \Big/:(-2)\]\[y> \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\] Otrzymana nierówność nieostra \(y\ {\czerwony{\boldsymbol\gt}}\ \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\) opisuje część płaszczyzny leżącą nad parabolą o równaniu \(y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\).

Zatem zbiór \(\niebieski{\boldsymbol A}\) można zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej w następujący sposób.

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[\arg (-\mathrm{i}z) \ge \frac{3}{4}\pi \ \wedge\ \textrm{Im}\, (2z)\gt 2\]

1. Rozważymy najpierw warunek \[\arg (-\mathrm{i}z) \ge \frac{3}{4}\pi\] Ponieważ argument główny to kąt z przedziału \(\left<0,2\pi\right)\), to warunek \(\arg (-\mathrm{i}z) \ge \frac{3}{4}\pi\) możemy zapisać w postaci \[\frac{3}{4}\pi\leq\arg (-\mathrm{i}z)\lt 2\pi\] Wówczas \[\frac{3}{4}\pi+2k\pi\leq\mathrm{Arg}\, (-\mathrm{i}z)\lt 2\pi+2k\pi, \quad \text{gdzie}\quad k\in \mathbb{Z}\] Ponieważ z własności argumentu iloczynu liczb zespolonych wynika, że \[\mathrm{Arg}\, (-\mathrm{i}z)=\arg(-\mathrm{i})+\arg z=\frac{3}{2}\pi+\arg z,\] to otrzymujemy podwójną nierówność \[\frac{3}{4}\pi+2k\pi\leq \frac{3}{2}\pi+\arg z\lt 2\pi+2k\pi \ \Big/\; -\frac{3}{2}\pi\]\[-\frac{3}{4}\pi+2k\pi\leq \arg z\lt \frac{\pi}{2}+2k\pi\] Wstawiamy \(k=0,1\) i otrzymujemy \[-\frac{3}{4}\pi\leq \arg z\lt \frac{\pi}{2}\quad \vee\quad \frac{5}{4}\pi\leq \arg z\lt \frac{5}{2}\pi\]Po uwzględnieniu zakresu dla argumentu głównego otrzymujemy \[0\leq \arg z\lt \frac{\pi}{2}\quad \vee\quad\frac{5}{4}\pi\leq \arg z\lt 2\pi\]
2. Rozważymy teraz warunek \[\mathrm{Im}\, (2z)\gt 2\] Wykorzystując postać algebraiczną liczby \(z=x+y\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\), możemy zapisać nierówność \(\mathrm{Im}\, (2z)\gt 2\) w postaci \[\mathrm{Im}\,(2x+2y\:\!\mathrm{i})\gt 2\quad \Longleftrightarrow\quad 2y\gt 2\quad \Longleftrightarrow\quad y\gt 1\]

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[\frac{\pi}{2}\lt \arg \frac{z}{1+\mathrm{i}} \lt \pi\]

Wówczas \[\frac{\pi}{2}+2k\pi\lt \mathrm{Arg}\, \frac{z}{1+\mathrm{i}} \lt \pi+2k\pi, \quad \text{gdzie}\quad k\in \mathbb{Z}\] Ponieważ z własności argumentu ilorazu liczb zespolonych wynika, że \[\mathrm{Arg}\, \frac{z}{1+\mathrm{i}}=\arg z-\arg (1+\mathrm{i})=\arg z -\frac{\pi}{4},\] to otrzymujemy podwójną nierówność \[\frac{\pi}{2}+2k\pi\lt \arg z -\frac{\pi}{4} \lt \pi+2k\pi\ \Big/\; +\frac{\pi}{4}\]\[\frac{3}{4}\pi+2k\pi\lt \arg z\lt \frac{5}{4}\pi+2k\pi\] Wstawiamy \(k=0\) i otrzymujemy \[\frac{3}{4}\pi\lt \arg z\lt \frac{5}{4}\pi\]

Zatem zbiór \(\niebieski{\boldsymbol A}\) można zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej w następujący sposób.

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[\frac{\pi}{2}\lt \arg z^3 \leq \pi\quad \wedge\quad 2\le |\bar z|\lt 4\]

1. Rozważymy najpierw warunek \[\frac{\pi}{2}\lt \arg z^3 \leq \pi,\] z którego dostajemy podwójną nierówność \[\frac{\pi}{2}+2k\pi\lt \mathrm{Arg}\, z^3 \leq \pi+2k\pi, \quad \text{gdzie}\quad k\in \mathbb{Z}\] Ponieważ z własności argumentu potęgi liczby zespolonej wynika, że \[\mathrm{Arg}\, z^3=3\arg z,\] to otrzymujemy \[\frac{\pi}{2}+2k\pi\lt 3\arg z \leq \pi+2k\pi\ \Big/\; :3\] \[\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi\lt \arg z\leq \frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi\] Wstawiamy \(k=0,1,2\) i otrzymujemy \[\frac{\pi}{6}\lt \arg z\leq \frac{\pi}{3}\quad \vee\quad \frac{5}{6}\pi\lt \arg z\leq \pi\quad \vee\quad\frac{3}{2}\pi\lt \arg z\leq \frac{5}{3}\pi\]
2. Rozważymy teraz warunek \[2\le |\bar z|\lt 4\] Z własności modułu liczby zespolonej wynika, że \[|z|=|\bar{z}|\] Zatem warunek \[2\le |\bar z|\lt 4\] jest równoważny z warunkiem \[2\le |z|\lt 4\] i opisuje pierścień o środku \(z_0=0\) i promieniach \(r_1=\sqrt{2}\) i \(r_2=2\) wraz z okręgiem o środku \(z_0=0\) i promieniu \(r_1\).

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[\arg (z+\mathrm{i}) > \pi\ \wedge\ |2z+4|\gt 4\]

1. Rozważymy najpierw warunek \[\arg (z+\mathrm{i}) > \pi\] Ponieważ argument główny to kąt należący do przedziału \(\left<0,2\pi\right)\), to \[\pi <\arg (z+\mathrm{i}) < 2\pi\] Zatem otrzymana podwójna nierówność opisuje obszar, który powstaje z przesunięcia o wektor \([0,-1]\) obszaru leżącego między półprostą o równaniu \(\arg z=\pi\), a dodatnią półosią rzeczywistą.
2. Rozważymy teraz warunek \[|2z+4|\gt 4\] Z własności własności modułu iloczynu wynika, że \[|2z+4|=|2|\cdot|z+2|=2|z+2|\] Zatem warunek \[|2z+4|\gt 4\] jest równoważny z warunkiem \[|z+2|\gt 2\] i opisuje zewnętrze okręgu o środku \(z_0=-2\) i promieniu \(r=2\).

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[\mathrm{Im}\,z^2\leq 0\]

Wykorzystujemy postać trygonometryczną liczby zespolonej \(z=|z|\left(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi\right)\), gdzie \(\varphi\in\mathbb{R}\), wzór de Moivre'a dla \(n=2\) oraz definicję części urojonej \(\mathrm{Im}\, z\) liczby zespolonej i otrzymujemy warunek \[\mathrm{Im}\,\left[|z|\left(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi\right)\right]^2\leq 0\] \[\mathrm{Im}\,\left[|z|^2\left(\cos 2\varphi+\mathrm{i}\sin 2\varphi\right)\right]\leq 0\] \[|z|^2\sin 2\varphi\leq 0\] \[|z|^2=0\quad\vee\quad \sin 2\varphi\leq 0\] Z wykresu funkcji sinus odczytujemy rozwiązanie nierówności trygonometrycznej \[z=0\quad\vee\quad \pi+2k\pi\leq 2\varphi\leq 2\pi+2k\pi\ \Big/:2\] \[z=0\quad\vee\quad \frac{\pi}{2}+k\pi\leq \varphi\leq \pi+k\pi\] Wstawiamy \(k=0,1\) i otrzymujemy \[z=0\quad\vee\quad \frac{\pi}{2}\leq \varphi\leq \pi \quad\vee\quad \frac{3}{2}\pi\leq \varphi\leq 2\pi\]

Zbiór \(\niebieski{\boldsymbol A}\) można więc zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej w następujący sposób.

Liczby zespolone \(z\) należące do zbioru \(A\) powinny spełniać warunek \[\mathrm{Im}\,z^4\geq 0 \quad \wedge\quad |z-1|<|z+3|\]

1. Aby rozwiązać nierówność \(\mathrm{Im}\,z^4\geq 0\), wykorzystamy postać trygonometryczną liczby zespolonej \(z=|z|\left(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi\right)\), gdzie \(\varphi\in\mathbb{R}\), wzór de Moivre'a dla \(n=4\) oraz definicję części urojonej \(\mathrm{Im}\, z\) liczby zespolonej \[\mathrm{Im}\,\left[|z|\left(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi\right)\right]^4\geq 0\] \[\mathrm{Im}\,\left[|z|^4\left(\cos 4\varphi+\mathrm{i}\sin 4\varphi\right)\right]\geq 0\] \[|z|^4\sin 4\varphi\geq 0\] \[|z|=0\quad\vee\quad \sin 4\varphi\geq 0\] Z wykresu funkcji sinus odczytujemy rozwiązanie nierówności trygonometrycznej \[|z|=0\quad\vee\quad 2k\pi\leq 4\varphi \le\pi+2k\pi\ \Big/:4\] \[z=0\quad\vee\quad \frac{k}{2}\pi\leq \varphi\le \frac{\pi}{4}+\frac{k}{2}\pi\] Wstawiamy \(k=0,1,2,3\) i otrzymujemy \[z=0\quad\vee\quad 0\leq \varphi \leq\frac{\pi}{4} \quad\vee\quad \frac{\pi}{2}\leq \varphi \leq\frac{3}{4}\pi \quad\vee\quad \pi\leq \varphi \leq\frac{5}{4}\pi \quad\vee\quad \frac{3}{2}\pi\leq \varphi \leq\frac{7}{4}\pi\]

2. Rozwiązaniami nierówności ostrej \(|z-1|<|z+3|\) są wszystkie liczby zespolone \(z\) położone na półpłaszczyźnie otwartej ograniczonej symetralną odcinka o końcach \(z_1=1\) i \(z_2=-3\) oraz zawierającej \(z_1\), czyli położone na prawo od prostej \(\displaystyle x=\frac{\textrm{Re}(z_1)+\textrm{Re}(z_2)}{2}=-1\).

Zbiór \(\niebieski{\boldsymbol A}\) można więc zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej w następujący sposób.