Geometryczne rozwiązywanie nierówności

Rozwiążemy graficznie nierówność $$2x+y\geq 1$$

Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna $\mathbb{R}^2$. Przekształcamy nierówność, zostawiając po lewej stronie tylko niewiadomą $y$ $$y\geq-2x+1$$ Otrzymana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą $$y=-2x+1\quad\vee\quad y\gt -2x+1$$ Narysujmy więc pomocniczy wykres funkcji liniowej $y=-2x+1$. Wiemy, że jej miejsce zerowe to $x_0={1\over 2}$, a wyraz wolny $b=1$. Prosta o równaniu $y=-2x+1$ przechodzi więc przez punkty $\left({1\over 2},0\right)$ i $\left(0,1\right)$, jak na poniższym rysunku. Punkty leżące na tej prostej spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru rozwiązań tej nierówności. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym prosta będzie narysowana linią ciągłą. Widzimy, że prosta ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte półpłaszczyzny (pod i nad prostą). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność ostrą $y\gt-2x+1$. Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej półpłaszczyzny. Na przykład punkt $A(0,0)$ nie spełnia nierówności $y\gt-2x+1$. Zatem punkty z półpłaszczyzny pod prostą, do której należy punkt $A$, nie należą do zbioru rozwiązań nierówności $y>-2x+1$. Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. $B(1,1)$, że punkty leżące nad prostą spełniają nierówność $y>-2x+1$.
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej $y\ {\czerwony{\boldsymbol\ge }}\ -2x+1$ jest półpłaszczyzna domknięta położona nad prostą o równaniu $y=-2x+1$ oraz na tej prostej, zaznaczona na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie nierówność $$y\lt x^2$$

Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna $\mathbb{R}^2$. Po zastąpieniu występującego w niej znaku nierówności znakiem równości otrzymujemy równość $y=x^2$, dlatego narysujmy pomocniczo parabolę będącą wykresem funkcji $y=x^2$. Punkty leżące na tej paraboli nie spełniają zadanej nierówności ostrej, więc nie należą do zbioru rozwiązań tej nierówności. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym parabola będzie narysowana linią przerywaną. Widzimy, że parabola ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (pod i nad parabolą). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność $y\lt x^2$. Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo punkt $A(0,-1)$ spełnia nierówność $y\lt x^2$. Zatem punkty z płaszczyzny leżące pod parabolą, gdzie leży punkt $A$, należą do zbioru rozwiązań nierówności $y\lt x^2$. Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. $B(0,1)$, że punkty leżące nad parabolą nie spełniają nierówności $y\lt x^2$.
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności ostrej $y\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ x^2$ jest część płaszczyzny położona pod parabolą, jak na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie nierówność $$x^2+y^2 \ge 1$$

Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą $$x^2+y^2= 1\quad\vee\quad x^2+y^2 \gt 1,$$ to narysujemy pomocniczo okrąg $$x^2+y^2= 1$$ o środku w punkcie $S(0,0)$ i promieniu $r=1$. Punkty leżące na tym okręgu spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym okrąg będzie narysowany linią ciągłą. Widzimy, że okrąg ten dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (wewnątrz i na zewnątrz okręgu). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność $x^2+y^2 \gt 1$. Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo środek okręgu $S(0,0)$ nie spełnia nierówności $x^2+y^2 \gt 1$. Zatem punkty płaszczyzny położone wewnątrz okręgu, gdzie leży jego środek, nie należą do zbioru rozwiązań nierówności $x^2+y^2 \gt 1$. Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. $P(0,2)$, że punkty leżące na zewnątrz okręgu spełniają nierówność $x^2+y^2 \gt 1$.
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej $x^2+y^2 \ {\czerwony{\boldsymbol\ge }}\ 1$ jest część płaszczyzny położona na zewnątrz okręgu oraz na tym okręgu, jak na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie nierówność $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\lt 1$$

Wiemy, że po zamianie znaku nierówności na znak równości otrzymujemy równanie elipsy $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} = 1$$ o środku w punkcie $S(0,0)$. Ponieważ $a=2$ i $b=3$, czyli $a\lt b$, to oś wielka tej elipsy ma długość $2b=6$, a oś mała ma długość $2a=4$. Narysujemy pomocniczo taką elipsę. Punkty leżące na tej elipsie nie spełniają zadanej nierówności ostrej, więc nie należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym elipsa będzie narysowana linią przerywaną. Widzimy, że elipsa ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (wewnątrz i na zewnątrz elipsy). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\lt 1$. Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo środek elipsy $S(0,0)$ spełnia nierówność $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\lt 1$. Zatem punkty płaszczyzny położone wewnątrz elipsy, gdzie leży jej środek, należą do zbioru rozwiązań zadanej nierówności. Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. $P(3,0)$, że punkty leżące na zewnątrz elipsy nie spełniają zadanej nierówności.
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności ostrej $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ 1$ jest część płaszczyzny położona wewnątrz elipsy, jak na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie nierówność $${x^2\over 4}-{y^2\over 2} \le 1$$

Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą $${x^2\over 4}-{y^2\over 2} = 1\quad\vee\quad {x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1,$$ to narysujemy pomocniczo hiperbolę $${x^2\over 4}-{y^2\over 2} = 1,$$ która ma wierzchołki w punktach: $A_1(-2,0)$, $A_2(2,0)$ oraz asymptoty o równaniach: $y={\sqrt{2}\over 2}x$ i $y=-{\sqrt{2}\over 2}x$.

Punkty leżące na tej hiperboli spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym hiperbola będzie narysowana linią ciągłą. Widzimy, że hiperbola ta dzieli płaszczyznę na trzy otwarte części (jedną pomiędzy gałęziami hiperboli i dwie poza nimi). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność ${x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1$. Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo środek odcinka łączącego wierzchołki hiperboli $S(0,0)$ spełnia nierówności ${x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1$. Zatem punkty płaszczyzny położone pomiędzy gałęziami hiperboli, gdzie leży punkt $S$, należą do zbioru rozwiązań nierówności ${x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1$. Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. $P(-3,0)$ i $Q(3,0)$, że punkty leżące w obu częściach płaszczyzny poza gałęziami hiperboli nie spełniają nierówność ${x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1$.
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej ${x^2\over 4}-{y^2\over 2} \ {\czerwony{\boldsymbol\le }}\ 1$ jest część płaszczyzny położona pomiędzy gałęziami hiperboli oraz na tej hiperboli, jak na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie nierówność $$x\le y^2$$

Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą $$x=y^2\quad\vee\quad x\lt y^2,$$ to narysujemy pomocniczo parabolę $x=y^2$ o ognisku w punkcie $F({1\over 4},0)$, kierownicy o równaniu $x=-{1\over 4}$ i wierzchołku w punkcie $W(0,0)$, której ramiona skierowane są w prawo. Punkty leżące na tej paraboli spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym parabola będzie narysowana linią ciągłą. Widzimy, że parabola ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (na lewo i na prawo od paraboli). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność $x\lt y^2$. Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo punkt $P(-1,0)$ spełnia nierówność $x\lt y^2$. Zatem punkty płaszczyzny położone na lewo od paraboli, gdzie leży punkt $P$, należą do zbioru rozwiązań zadanej nierówności. Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. ogniska $F({1\over 4},0)$, że punkty leżące na prawo od paraboli nie spełniają zadanej nierówności.
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej $x\ {\czerwony{\boldsymbol\le }}\  y^2$ jest część płaszczyzny położona na lewo od paraboli oraz na tej paraboli, jak na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie układ nierówności liniowych $$\left\{\eqalign{4x-y&<-4\cr 4x+2y&\leq2\cr}\right.$$ Przekształcamy obie nierówności $$\left\{\eqalign{-y&<-4x-4 \ /:(-1)\cr 2y&\leq -4x +2\ /:2\cr}\right. \quad \Longleftrightarrow\quad\left\{\eqalign{y&>4x+4 \cr y&\leq -2x +1\cr}\right.$$ Widzimy teraz, że rozwiązania nierówności $y\gt 4x+4$ leżą nad prostą $y=4x+4$, jak na poniższym rysunku. Rozwiązania nierówności $y\leq -2x +1$ leżą na prostej $y=-2x +1$ oraz pod tą prostą, jak na poniższym rysunku. Zatem rozwiązaniem układu $$\cases{y\gt 4x+4\cr y\leq -2x +1 \cr}$$ jest część wspólna zbiorów zaznaczonych na obydwu wcześniejszych rysunkach. Ostateczne rozwiązanie zadanego układu nierówności możemy więc narysować w następujący sposób.

Rozwiążemy graficznie układ nierówności $$\cases{(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1\cr y>x \cr}$$

Wiemy, że nierówność $(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1$ spełniają punkty leżące na okręgu o równaniu $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ i w jego wnętrzu, czyli zbiorem rozwiązań tej nierówności jest koło (zobacz poniższy rysunek). Wiemy również, że nierówność $y>x$ spełniają punkty leżące nad prostą o równaniu $y=x$, jak na poniższym rysunku. Zatem rozwiązaniem układu $$\cases{(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1\cr y>x \cr}$$ jest część wspólna zbiorów zaznaczonych na obydwu wcześniejszych rysunkach. Ostateczne rozwiązanie zadanego układu nierówności możemy więc narysować w następujący sposób.