Rozwiążemy graficznie nierówność \[2x+y\geq 1\]

Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Przekształcamy nierówność, zostawiając po lewej stronie tylko niewiadomą \(y\) \[ y\geq-2x+1 \] Otrzymana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[y=-2x+1\quad\vee\quad y\gt -2x+1\] Narysujmy więc pomocniczy wykres funkcji liniowej \(y=-2x+1\). Wiemy, że jej miejsce zerowe to \(x_0={1\over 2}\), a wyraz wolny \(b=1\). Prosta o równaniu \(y=-2x+1\) przechodzi więc przez punkty \(\left({1\over 2},0\right)\) i \(\left(0,1\right)\), jak na poniższym rysunku. Punkty leżące na tej prostej spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru rozwiązań tej nierówności. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym prosta będzie narysowana linią ciągłą. Widzimy, że prosta ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte półpłaszczyzny (pod i nad prostą). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność ostrą \(y\gt-2x+1\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej półpłaszczyzny. Na przykład punkt \(A(0,0)\) nie spełnia nierówności \(y\gt-2x+1\). Zatem punkty z półpłaszczyzny pod prostą, do której należy punkt \(A\), nie należą do zbioru rozwiązań nierówności \(y>-2x+1\). Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. \(B(1,1)\), że punkty leżące nad prostą spełniają nierówność \(y>-2x+1\).
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(y\ {\czerwony{\boldsymbol\ge }}\ -2x+1\) jest półpłaszczyzna domknięta położona nad prostą o równaniu \(y=-2x+1\) oraz na tej prostej, zaznaczona na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie nierówność \[y\lt x^2\]

Widzimy, że dziedziną zadanej nierówności jest cała płaszczyzna \(\mathbb{R}^2\). Po zastąpieniu występującego w niej znaku nierówności znakiem równości otrzymujemy równość \(y=x^2\), dlatego narysujmy pomocniczo parabolę będącą wykresem funkcji \(y=x^2\). Punkty leżące na tej paraboli nie spełniają zadanej nierówności ostrej, więc nie należą do zbioru rozwiązań tej nierówności. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym parabola będzie narysowana linią przerywaną. Widzimy, że parabola ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (pod i nad parabolą). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność \(y\lt x^2\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo punkt \(A(0,-1)\) spełnia nierówność \(y\lt x^2\). Zatem punkty z płaszczyzny leżące pod parabolą, gdzie leży punkt \(A\), należą do zbioru rozwiązań nierówności \(y\lt x^2\). Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. \(B(0,1)\), że punkty leżące nad parabolą nie spełniają nierówności \(y\lt x^2\).
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(y\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ x^2\) jest część płaszczyzny położona pod parabolą, jak na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie nierówność \[ x^2+y^2 \ge 1\]

Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[x^2+y^2= 1\quad\vee\quad x^2+y^2 \gt 1,\] to narysujemy pomocniczo okrąg \[ x^2+y^2= 1 \] o środku w punkcie \(S(0,0)\) i promieniu \(r=1\). Punkty leżące na tym okręgu spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym okrąg będzie narysowany linią ciągłą. Widzimy, że okrąg ten dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (wewnątrz i na zewnątrz okręgu). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność \(x^2+y^2 \gt 1\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo środek okręgu \(S(0,0)\) nie spełnia nierówności \(x^2+y^2 \gt 1\). Zatem punkty płaszczyzny położone wewnątrz okręgu, gdzie leży jego środek, nie należą do zbioru rozwiązań nierówności \(x^2+y^2 \gt 1\). Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. \(P(0,2)\), że punkty leżące na zewnątrz okręgu spełniają nierówność \(x^2+y^2 \gt 1\).
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(x^2+y^2 \ {\czerwony{\boldsymbol\ge }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona na zewnątrz okręgu oraz na tym okręgu, jak na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie nierówność \[\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\lt 1\]

Wiemy, że po zamianie znaku nierówności na znak równości otrzymujemy równanie elipsy \[\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} = 1\] o środku w punkcie \(S(0,0)\). Ponieważ \(a=2\) i \(b=3\), czyli \(a\lt b\), to oś wielka tej elipsy ma długość \(2b=6\), a oś mała ma długość \(2a=4\). Narysujemy pomocniczo taką elipsę. Punkty leżące na tej elipsie nie spełniają zadanej nierówności ostrej, więc nie należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym elipsa będzie narysowana linią przerywaną. Widzimy, że elipsa ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (wewnątrz i na zewnątrz elipsy). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\lt 1\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo środek elipsy \(S(0,0)\) spełnia nierówność \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\lt 1\). Zatem punkty płaszczyzny położone wewnątrz elipsy, gdzie leży jej środek, należą do zbioru rozwiązań zadanej nierówności. Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. \(P(3,0)\), że punkty leżące na zewnątrz elipsy nie spełniają zadanej nierówności.
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności ostrej \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\ {\czerwony{\boldsymbol\lt }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona wewnątrz elipsy, jak na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie nierówność \[{x^2\over 4}-{y^2\over 2} \le 1\]

Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[{x^2\over 4}-{y^2\over 2} = 1\quad\vee\quad {x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1,\] to narysujemy pomocniczo hiperbolę \[ {x^2\over 4}-{y^2\over 2} = 1,\] która ma wierzchołki w punktach: \(A_1(-2,0)\), \(A_2(2,0)\) oraz asymptoty o równaniach: \(y={\sqrt{2}\over 2}x\) i \(y=-{\sqrt{2}\over 2}x\).

Punkty leżące na tej hiperboli spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym hiperbola będzie narysowana linią ciągłą. Widzimy, że hiperbola ta dzieli płaszczyznę na trzy otwarte części (jedną pomiędzy gałęziami hiperboli i dwie poza nimi). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność \({x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo środek odcinka łączącego wierzchołki hiperboli \(S(0,0)\) spełnia nierówności \({x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1\). Zatem punkty płaszczyzny położone pomiędzy gałęziami hiperboli, gdzie leży punkt \(S\), należą do zbioru rozwiązań nierówności \({x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1\). Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. \(P(-3,0)\) i \(Q(3,0)\), że punkty leżące w obu częściach płaszczyzny poza gałęziami hiperboli nie spełniają nierówność \({x^2\over 4}-{y^2\over 2} \lt 1\).
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \({x^2\over 4}-{y^2\over 2} \ {\czerwony{\boldsymbol\le }}\ 1\) jest część płaszczyzny położona pomiędzy gałęziami hiperboli oraz na tej hiperboli, jak na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie nierówność \[x\le y^2\]

Ponieważ zadana nierówność nieostra jest równoważna z alternatywą \[x=y^2\quad\vee\quad x\lt y^2,\] to narysujemy pomocniczo parabolę \(x=y^2\) o ognisku w punkcie \(F({1\over 4},0)\), kierownicy o równaniu \(x=-{1\over 4}\) i wierzchołku w punkcie \(W(0,0)\), której ramiona skierowane są w prawo. Punkty leżące na tej paraboli spełniają zadaną nierówność nieostrą, więc należą do zbioru jej rozwiązań. Zatem w ostatecznym rozwiązaniu graficznym parabola będzie narysowana linią ciągłą. Widzimy, że parabola ta dzieli płaszczyznę na dwie otwarte części (na lewo i na prawo od paraboli). Wybieramy tę z nich, której punkty spełniają nierówność \(x\lt y^2\). Sprawdzenie wykonujemy dla jednego punktu z danej części płaszczyzny. Przykładowo punkt \(P(-1,0)\) spełnia nierówność \(x\lt y^2\). Zatem punkty płaszczyzny położone na lewo od paraboli, gdzie leży punkt \(P\), należą do zbioru rozwiązań zadanej nierówności. Podobnie sprawdzamy za pomocą jednego punktu, np. ogniska \(F({1\over 4},0)\), że punkty leżące na prawo od paraboli nie spełniają zadanej nierówności.
Ostatecznie zbiorem rozwiązań nierówności nieostrej \(x\ {\czerwony{\boldsymbol\le }}\  y^2 \) jest część płaszczyzny położona na lewo od paraboli oraz na tej paraboli, jak na poniższym rysunku.

Rozwiążemy graficznie układ nierówności liniowych \[\left\{\eqalign{4x-y&<-4\cr 4x+2y&\leq2\cr}\right.\] Przekształcamy obie nierówności \[ \left\{\eqalign{-y&<-4x-4 \ /:(-1)\cr 2y&\leq -4x +2\ /:2\cr}\right. \quad \Longleftrightarrow\quad\left\{\eqalign{y&>4x+4 \cr y&\leq -2x +1\cr}\right.\] Widzimy teraz, że rozwiązania nierówności \(y\gt 4x+4\) leżą nad prostą \(y=4x+4\), jak na poniższym rysunku. Rozwiązania nierówności \(y\leq -2x +1\) leżą na prostej \(y=-2x +1\) oraz pod tą prostą, jak na poniższym rysunku. Zatem rozwiązaniem układu \[\cases{y\gt 4x+4\cr y\leq -2x +1 \cr}\] jest część wspólna zbiorów zaznaczonych na obydwu wcześniejszych rysunkach. Ostateczne rozwiązanie zadanego układu nierówności możemy więc narysować w następujący sposób.

Rozwiążemy graficznie układ nierówności \[\cases{(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1\cr y>x \cr}\]

Wiemy, że nierówność \((x-1)^2+(y-1)^2\leq 1\) spełniają punkty leżące na okręgu o równaniu \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) i w jego wnętrzu, czyli zbiorem rozwiązań tej nierówności jest koło (zobacz poniższy rysunek). Wiemy również, że nierówność \(y>x\) spełniają punkty leżące nad prostą o równaniu \(y=x\), jak na poniższym rysunku. Zatem rozwiązaniem układu \[\cases{(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1\cr y>x \cr}\] jest część wspólna zbiorów zaznaczonych na obydwu wcześniejszych rysunkach. Ostateczne rozwiązanie zadanego układu nierówności możemy więc narysować w następujący sposób.